§5 Condiciones a la frontera del choque estacionario

El balance de presiones que se muestra en la ec.(4.4) determina el lugar geométrico de la posición del choque $r$ como función de los ángulos polar y azimutal. En otras palabras, la superficie de la onda de choque $r$ está parametrizada por las cantidades $\theta$ y $\varphi$. Un vector normal a esta superficie es:

$$\vec n = \frac{ \partial \vec r }{ \partial \theta } \times \frac{ \partial \vec r }{\partial \varphi},$$ (5.6)

pues $\partial \vec r / \partial \theta$ y $\partial \vec r / \partial \varphi$ son vectores tangentes a cualquier superficie parametrizada por los ángulos polar y azimutal. Gracias a que el flujo de acreción, así como el del viento estelar poseen simetría azimutal, la posición de la onda de choque no debe depender explícitamente del ángulo $\varphi$. Utilizando la ec.(1.19) del apéndice §1 y dividiendo entre las diferenciales correspondientes, la ec.(5.6) es claramente:

$$\widehat n = \frac{ r \widehat e_r - \left( \partial r / \partial... ...t\{ r^2 + \left( \partial r / \partial \theta \right)^2 \right\} }^{ 1 / 2 } }.$$ (5.7)

Como las velocidades del flujo de acreción y del viento estelar son radiales sobre el eje de rotación de la nube, los puntos del choque cumplen con la condición:

$$\frac{ \partial r }{ \partial \theta } \bigg\vert _{ \theta = 0 } = 0,$$ (5.8)

que es la condición de frontera a imponer sobre la onda de choque estacionaria. Utilizando la ec.(5.7) y la ec.(5.8) en la ec.(4.4) para las aproximaciones correspondientes sobre el eje de rotación de la nube, se obtiene el valor de $r$ en la frontera:

$$r \bigg\vert _{ \theta = 0 } = -2 + \frac{ 1 - 2 \sqrt{ 1 - 4 \lambda^2 } }{ 2 \lambda^2 }.$$ (5.9)

De la ec.(5.9) se deduce que para $\lambda > 1/2$ no existe un valor para la condición inicial de la posición del choque. Esto indica que no existe solución estacionaria para estos valores del parámetro $\lambda$.