§6 Forma geométrica del choque estacionario

Con ayuda de la ec.(5.7), la ec.(4.4) toma una forma sencilla:

$$\frac{ \partial r }{ \partial \theta } = \frac{ \lambda^{ 1 / 2 } + \rho^{ 1 / 2 } r v_r }{ \rho^{ 1 / 2 } v_\theta },$$ (6.10)

que es la ecuación que deben cumplir los puntos geométricos del choque adjunta con la condición a la frontera dada por la ec.(5.9). La ec.(6.10) muestra que la forma geométrica del choque depende del parámetro libre $\lambda$. La fig.(II.1) muestra algunas integrales de los puntos geométricos del choque para ciertos valores de $\lambda$, obtenidas utilizando un método de Runge-Kutta de cuarto orden.

Figura II.1: En la interacción del viento estelar con el flujo de acreción se forman dos choques hidrodinámicos fuertes, los cuales, bajo la suposición de capa delgada ocupan la misma posición espacial. $R$ representa el radio cilíndrico, $Z$ el eje polar. Las distancias están medidas en unidades del radio del disco $r_$d$$.

La fig.(II.1) muestra que cuando el parámetro $\lambda \le 1/2$ los choques están divididos en dos casos, aquellos cuya derivada del lugar geométrico del choque respecto al ángulo polar es mayor a cero ( $\lambda = 0.2$, por ejemplo) y los que tienen esta misma derivada menor a cero ( $\lambda = 0.48$, por ejemplo). Es fácil mostrar que no existe una configuración en la cual esta derivada sea cero para cualquier ángulo polar. Cuando $\lambda > 1/2$ no existe configuración estacionaria como lo muestra la ec.(5.9).

Figura II.2: En la interacción del viento estelar con el flujo de acreción, dado que un flujo constituye un obstáculo para el otro y ambos flujos son supersónicos, se forman dos choques. En la figura se muestran estos dos choques y la dirección del flujo antes y después de atravesar el frente de choque correspondiente. El radio cilíndrico $R$ y las distancias medidas sobre el eje polar $Z$ están medidas en unidades del radio del disco $r_$d$$.

Hasta ahora hemos considerado que los puntos geométricos que describen el choque de acreción, así como los del viento estelar coinciden. Sin embargo existe una capa intermedia entre ambos (fig.(II.2)). Calculemos ahora cuál es la dirección que deben tener ambos flujos inmediatamente después de atravesar los choques hidrodinámicos correspondientes. Esto es importante para cualquier trabajo posterior en el cual se considere la presión producida por fuerzas centrífugas. Bajo la suposición de que ambos choques son altamente radiativos las componentes de velocidad normal post-choque son despreciables. Sin embargo, dado que las componentes tangenciales de la velocidad son continuas a través de los choques correspondientes, la dirección post-choque del flujo está determinada por las componentes tangenciales de la velocidad pre-choque. Como el choque no depende explícitamente del ángulo azimutal, un vector tangente a la misma es (ec.(1.19)):

Figura II.3: La dirección del flujo post-choque queda determinada por los valores de la velocidad tangencial pre-choque para cada flujo. La velocidad tangencial del viento estelar $v_{ \text{w} \tau}$ está medida en unidades de la velocidad del viento $v_$w$$ y la velocidad del flujo de acreción $v_\tau$ está medida en unidades de la velocidad $v_k$. Los números que aparecen en la gráfica se refieren a la cantidad $\lambda'$, definida como $\lambda = 0.05\lambda'$.

$$\widehat\tau = \frac{ \left( \partial r / \partial \theta \right)... ...eft\{ r^2 + \left( \partial r / \partial \theta \right)^2 \right\} }^{1 / 2} }.$$ (6.11)

Dada la simetría del problema, analicemos únicamente la región $0 \leq \theta \leq \pi / 2$. Utilizando el vector tangente de la ec.(6.11) y recordando que la componente de velocidad en el ángulo polar es positiva para el flujo de acreción, diremos que el flujo post-choque (de acreción o del viento estelar) sube si $\vec v \cdot \widehat \tau <0$ (el flujo se aleja del plano ecuatorial) y baja si $\vec v \cdot \widehat \tau > 0$ (el flujo se acerca al plano ecuatorial). Si la igualdad se cumple diremos simplemente que el flujo post-choque es estático. La fig.(II.3) muestra los valores de la velocidad tangencial pre-choque de ambos flujos como función del ángulo polar para distintos valores de $\lambda$. De esta figura se deduce que, en el caso del viento para $\lambda \lesssim 0.3$ el flujo post-choque baja y para $\lambda \gtrsim 0.3$ sube. Cuando $\lambda \approx 0.3$ se tiene una combinación de ambos, es decir, sube en ciertas regiones y baja en otras. Para el caso del flujo de acreción post-choque, es claro que éste siempre baja, independientemente de la configuración. Cabe hacer notar que existe un punto de acumulación de material $( \theta =0 )$ en el cual ocurre que el gas es estático tanto para el flujo de acreción como para el flujo del viento estelar.

Footnotes

... polar

Basta suponer que la configuración es una circunferencia. Necesariamente se tiene entonces que $r( \theta = \pi / 2 ) = r( \theta = 0 )$. De esta forma se obtiene un valor de $\lambda$ que no corresponde a una circunferencia.

... estelar

En este punto de acumulación se espera que el material se colime hacia regiones que se alejan de la estrella cuando se considere en la ec.(4.1) la presión producida por fuerzas centrífugas.